Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + x + 12$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 5 x^{3} + x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.3.2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1 + 0$

Schritt 1.3.3

Addiere $5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$ und $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 15 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 x^{3} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 15$ .

$20 x^{3} - 30 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{3} - 30 x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $20 x^{3} - 30 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 x$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x^{3} - 30 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{3}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 30 x$ nach $x$ gleich $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} - 30 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$60 x^{2} - 30 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $1$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} - 30$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $60 x^{2} - 30$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60 x^{2}$ nach $x$ gleich $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [- 30]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Da $- 30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 30$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$120 x + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $120 x$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 120 x$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $120 x$ .

$120 x$