Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \sqrt{x^{5}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{5}}]$ als $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$ um.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $x^{5}$ als ${(x^{2})}^{2} x$ um.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{x^{4} x})$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})$

Schritt 1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} \sqrt{x}))$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 + \frac{1}{2}})$

Schritt 1.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})$

Schritt 1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4 + 1}{2}})$

Schritt 1.3.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Schritt 1.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Schritt 1.9.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.10

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 1.11

Kombiniere $5$ und $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Schritt 1.12

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f' (x) = \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{25}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{25}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{25}{2}$ mit $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.9

Multipliziere.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{75}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{75}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $\frac{75}{4}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2}$

Schritt 3.10

Multipliziere.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

Schritt 3.10.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $\frac{75}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{75}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $\frac{75}{8}$ mit $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{8 \cdot 2}$

Schritt 4.11

Multipliziere.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{16}$

Schritt 4.11.2

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$