Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{x + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ als ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Schritt 2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ als ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{- 3}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f''' (x) = - 2 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$f''' (x) = 6 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 6 (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ als ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{4})}^{- 1})$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 4})$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f^{4} (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 6 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f^{4} (x) = 6 (- 4 {(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 4.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$f^{4} (x) = - 24 ({(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + 0)$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} \cdot 1$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 24 \frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 24}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$