Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x^{5}}{5} - 7 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4 x^{5}}{5} - 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{5}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{20}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $20 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.6.2.4

Dividiere $4 x^{4}$ durch $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{4} - 7 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 7$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{4} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $16 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 16 x^{3}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{3}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$16 (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f''' (x) = 48 x^{2}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x^{2}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$48 (2 x)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$f^{4} (x) = 96 x$