Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x - 1}{3 x + 4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x - 1$ und $g (x) = 3 x + 4$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 x + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x + 4) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 + 0)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.12.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - 3 (2 x - 1)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 4 - 3 (2 x - 1)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 \cdot 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 6 x - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 6 x + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x + 8 - 6 x + 3$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 8 + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$f' (x) = \frac{8 + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Addiere $8$ und $3$ .

$f' (x) = \frac{11}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{11}{{(3 x + 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}})$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}}$ als ${({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1})$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{2 \cdot - 1})$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{- 2})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = 3 x + 4$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 4$ .

$f'' (x) = 11 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = 11 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 4$ .

$f'' (x) = 11 (- 2 {(3 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $11$ .

$f'' (x) = - 22 ({(3 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 + 0)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} \cdot 3$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 22$ .

$f'' (x) = - 66 {(3 x + 4)}^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 66 \frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 66$ und $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 66}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{66}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $- 66$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{66}{{(3 x + 4)}^{3}}$ nach $x$ gleich $- 66 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$ als ${({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {(3 x + 4)}^{3 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {(3 x + 4)}^{- 3}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = 3 x + 4$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 4$ .

$f''' (x) = - 66 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 66 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 4$ .

$f''' (x) = - 66 (- 3 {(3 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 66$ .

$f''' (x) = 198 ({(3 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 3.3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 + 0)$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} \cdot 3$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $198$ .

$f''' (x) = 594 {(3 x + 4)}^{- 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 594 (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}})$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $594$ und $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{594}{{(3 x + 4)}^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1

Da $594$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{594}{{(3 x + 4)}^{4}}$ nach $x$ gleich $594 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}})$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}$ als ${({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1})$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{4 \cdot - 1})$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{- 4})$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = 3 x + 4$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 4$ .

$f^{4} (x) = 594 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 594 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 4$ .

$f^{4} (x) = 594 (- 4 {(3 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $594$ .

$f^{4} (x) = - 2376 ({(3 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 4.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 4.3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 + 0)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} \cdot 3$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2376$ .

$f^{4} (x) = - 7128 {(3 x + 4)}^{- 5}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 7128 \frac{1}{{(3 x + 4)}^{5}}$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $- 7128$ und $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 7128}{{(3 x + 4)}^{5}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{7128}{{(3 x + 4)}^{5}}$