Analysis Beispiele

$y = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{3} - 3 x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$15 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$15 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$15 x^{2} - 15 x^{4}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 15 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 15$ .

$- 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{2}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 60 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 60 x^{3} + 15 (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 x$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 60 x^{3} + 30 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 60 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 60 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [30 x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 60$ .

$- 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [30 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 x$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 180 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 180 x^{2} + 30 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$f''' (x) = - 180 x^{2} + 30$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 180 x^{2} + 30$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30]$ .

$\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- 180$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 180 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [30]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [30]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 180$ .

$- 360 x + \frac{d}{d x} [30]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 360 x + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 360 x$ und $0$ .

$f^{4} (x) = - 360 x$