Analysis Beispiele

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.12

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 (- x^{- 2})$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 2 x^{- 2}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$- 4 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 x^{- 3} - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.3.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 4 x^{- 3} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 x^{- 3} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ als ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ um.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{4}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{4}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{4}{3} \cdot - 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 3.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 2$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{- 8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 3.3.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}))$

Schritt 3.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 3.3.10

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{8}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.12

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{8}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.12.1

Bewege $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{3})$

Schritt 3.3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{- \frac{8}{3} + \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{- 8 + 1}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.12.4

Addiere $- 8$ und $1$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{- 7}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{- \frac{7}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13

Bringe $x^{- \frac{7}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}})$

Schritt 3.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$12 x^{- 4} + 1 (\frac{2}{3}) \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 3.3.15

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$12 x^{- 4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 3.3.16

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$ .

$12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{3 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

Schritt 3.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

Schritt 3.3.18

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$12 x^{- 4} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{12}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{12}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{12}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{4}$ .

$12 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$12 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{4}$ .

$12 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$12 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$12 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$12 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$12 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$12 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $\frac{8}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$

Schritt 4.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ als ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ um.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{7}{3}}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{3}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Schritt 4.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{7}{3} \cdot - 2} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2

Multipliziere $\frac{7}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 4.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{7}{3}$ und $- 2$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{7 \cdot - 2}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{- 14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Schritt 4.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Schritt 4.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 4.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 4.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 4.3.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}}))$

Schritt 4.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}}))$

Schritt 4.3.10

Kombiniere $\frac{7}{3}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.11

Kombiniere $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{14}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{14}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.12

Multipliziere $x^{\frac{4}{3}}$ mit $x^{- \frac{14}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.12.1

Bewege $x^{- \frac{14}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 (x^{- \frac{14}{3}} x^{\frac{4}{3}})}{3})$

Schritt 4.3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{14}{3} + \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 14 + 4}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.12.4

Addiere $- 14$ und $4$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 10}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{10}{3}}}{3})$

Schritt 4.3.13

Bringe $x^{- \frac{10}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7}{3 x^{\frac{10}{3}}})$

Schritt 4.3.14

Mutltipliziere $\frac{8}{9}$ mit $\frac{7}{3 x^{\frac{10}{3}}}$ .

$- 48 x^{- 5} - \frac{8 \cdot 7}{9 (3 x^{\frac{10}{3}})}$

Schritt 4.3.15

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$- 48 x^{- 5} - \frac{56}{9 (3 x^{\frac{10}{3}})}$

Schritt 4.3.16

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$- 48 x^{- 5} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 \frac{1}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $- 48$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 48}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{48}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$