Analysis Beispiele

$y = 2 x^{\frac{3}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{\frac{3}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.10

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.11.4

Dividiere $3 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.9

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.11

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Schritt 2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Schritt 2.3.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.14

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.3.16

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.13.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.14

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.15

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 3.3.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 3.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 3.3.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Schritt 3.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3.3.10

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 3}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2})$

Schritt 3.3.12

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.12.1

Bewege $x^{- 3}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2})$

Schritt 3.3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.3.12.3

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.3.12.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.3.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

Schritt 3.3.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.12.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

Schritt 3.3.12.6.2

Addiere $- 6$ und $1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

Schritt 3.3.12.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2})$

Schritt 3.3.13

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 3.3.14

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \cdot 3}{2 (2 x^{\frac{5}{2}})}$

Schritt 3.3.15

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{9}{2 (2 x^{\frac{5}{2}})}$

Schritt 3.3.16

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.10

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.11

Kombiniere $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.12

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.12.1

Bewege $x^{- 3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.12.3

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.12.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.12.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.12.6.2

Addiere $- 6$ und $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.12.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.13

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{3}{4}) \cdot \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.15

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.16

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 \cdot 3}{4 (2 x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.17

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{4 (2 x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2.18

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- \frac{9}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ als ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}}))$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Schritt 4.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Schritt 4.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Schritt 4.3.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Schritt 4.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 4.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}))$

Schritt 4.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 4.3.10

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 4.3.11

Kombiniere $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ und $x^{- 5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x^{- 5}}{2})$

Schritt 4.3.12

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- 5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.12.1

Bewege $x^{- 5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 (x^{- 5} x^{\frac{3}{2}})}{2})$

Schritt 4.3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 4.3.12.3

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 4.3.12.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 4.3.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2})$

Schritt 4.3.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.12.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2})$

Schritt 4.3.12.6.2

Addiere $- 10$ und $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{\frac{- 7}{2}}}{2})$

Schritt 4.3.12.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{- \frac{7}{2}}}{2})$

Schritt 4.3.13

Bringe $x^{- \frac{7}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

Schritt 4.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + 1 (\frac{9}{4}) \cdot \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.3.15

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{9}{4} \cdot \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.3.16

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{9 \cdot 5}{4 (2 x^{\frac{7}{2}})}$

Schritt 4.3.17

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{45}{4 (2 x^{\frac{7}{2}})}$

Schritt 4.3.18

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{45}{8 x^{\frac{7}{2}}}$