Analysis Beispiele

$y = 2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 - 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.3.12

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 1.3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 2 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 2.2.16

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ als ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1})$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3} \cdot - 1})$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4 \cdot - 1}{3}})$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 4}{3}})$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{4}{3}})$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{4}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 3}{3}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 4$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 7}{3}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{7}{3}}$ und $\frac{4}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3})$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4)}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.11

Multipliziere.

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f''' (x) = - \frac{8 x^{- \frac{7}{3}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f''' (x) = - \frac{8 x^{- \frac{7}{3}}}{9}$

Schritt 3.11.3

Bringe $x^{- \frac{7}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- \frac{8}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ als ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{3} \cdot - 1}$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $\frac{7}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{7}{3}$ und $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{3}}$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{3}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{7}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 7 - 3}{3}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 7$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 10}{3}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{10}{3}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $x^{- \frac{10}{3}}$ und $\frac{7}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3})$

Schritt 4.10

Multipliziere.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{8}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $\frac{8}{9}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{8}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $\frac{8}{9}$ mit $\frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{8 (x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7)}{9 \cdot 3}$

Schritt 4.12

Multipliziere.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$f^{4} (x) = \frac{56 x^{- \frac{10}{3}}}{9 \cdot 3}$

Schritt 4.12.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{56 x^{- \frac{10}{3}}}{27}$

Schritt 4.12.3

Bringe $x^{- \frac{10}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$