Analysis Beispiele

$y = x^{2} \ln (8 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (8 x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{8 x}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{8} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.4.1

Kombiniere $8$ und $\frac{x}{8}$ .

$f' (x) = \frac{8 x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{8 x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x \cdot 1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (8 x) (2 x)$

Schritt 1.3.8

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x \ln (8 x) + x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x \ln (8 x) + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \ln (8 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (8 x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{8 x}$ und $8$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{8}{8 x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{8}{8 x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $\ln (8 x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x)) + 1$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (8 x) + 1$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (8 x) + 1$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (8 x) + 3$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \ln (8 x) + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \ln (8 x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (8 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (8 x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $\frac{1}{8 x}$ und $8$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{8}{8 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f''' (x) = 2 (\frac{8}{8 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $\frac{2}{x}$ und $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 4.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$