Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (3 x - 1)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + 0)$

Schritt 1.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{3 x - 1} \cdot 3$

Schritt 1.2.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 1}$ und $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{3 x - 1}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{3 x - 1}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{1}{3 x - 1}$ als ${(3 x - 1)}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 1$ .

$3 (- {(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 ({(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + 0)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} \cdot 3$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 9 {(3 x - 1)}^{- 2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ als ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- 9 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 1$ .

$- 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 9 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 1$ .

$- 9 (- 2 {(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 9$ .

$18 ({(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + 0)$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} \cdot 3$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $18$ .

$54 {(3 x - 1)}^{- 3}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $54$ und $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1

Da $54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$ .

$54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ als ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ um.

$54 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 3}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 1$ .

$54 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$54 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 1$ .

$54 (- 3 {(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $54$ .

$- 162 ({(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + 0)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} \cdot 3$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 162$ .

$- 486 {(3 x - 1)}^{- 4}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 486 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $- 486$ und $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$