Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{{(2 x - 5)}^{7}}{2 x}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{2 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(2 x - 5)}^{7}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{7}] - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = 2 x - 5$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 + 0)) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} \cdot 2) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{x^{2}}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{x^{2}}$ .

$\frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{2 x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{6}$ aus $x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{6}$ aus $x (14 {(2 x - 5)}^{6})$ heraus.

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) - {(2 x - 5)}^{7}}{2 x^{2}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{6}$ aus $- {(2 x - 5)}^{7}$ heraus.

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) + {(2 x - 5)}^{6} (- (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{6}$ aus ${(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) + {(2 x - 5)}^{6} (- (2 x - 5))$ heraus.

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14) - (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

Schritt 5.2

Bringe $14$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - (2 x) - - 5)}{2 x^{2}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - 2 x - - 5)}{2 x^{2}}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - 2 x + 5)}{2 x^{2}}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $2 x$ von $14 x$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (12 x + 5)}{2 x^{2}}$