Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{2 - 11 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 2 - 11 x$ .

$\frac{(2 - 11 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 - 11 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2 - 11 x$ mit $1$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 11 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 - 11 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [- 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (- 11 \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \cdot 1}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.9.1

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.9.2

Addiere $- 11 x$ und $11 x$ .

$\frac{2 + 0}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.9.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.9.3.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.9.3.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$ als ${({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = - 11 x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 11 x + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 11 x + 2$ .

$2 (- 2 {(- 11 x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 ({(- 11 x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 11 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.3.3

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 + 0)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Addiere $- 11$ und $0$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} \cdot - 11$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 4$ .

$44 {(- 11 x + 2)}^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$44 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $44$ und $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Da $44$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{44}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ nach $x$ gleich $44 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}]$ .

$44 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ als ${({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}$ um.

$44 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$44 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$44 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = - 11 x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 11 x + 2$ .

$44 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$44 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 11 x + 2$ .

$44 (- 3 {(- 11 x + 2)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $44$ .

$- 132 ({(- 11 x + 2)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 11 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.3.3

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 + 0)$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.7.1

Addiere $- 11$ und $0$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} \cdot - 11$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 132$ .

$1452 {(- 11 x + 2)}^{- 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1452 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $1452$ und $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{1452}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Da $1452$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1452}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ nach $x$ gleich $1452 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}]$ .

$1452 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}]$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ als ${({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}$ um.

$1452 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1452 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$1452 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 4}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = - 11 x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 11 x + 2$ .

$1452 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$1452 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 11 x + 2$ .

$1452 (- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 4.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1452$ .

$- 5808 ({(- 11 x + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 11 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 4.3.3

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 4.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 + 0)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

Addiere $- 11$ und $0$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} \cdot - 11$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 5808$ .

$63888 {(- 11 x + 2)}^{- 5}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$63888 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $63888$ und $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$