Analysis Beispiele

$y = (5 x^{2} - 1) (3 x^{3} + x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 5 x^{2} - 1$ und $g (x) = 3 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (3 x^{3} + x) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Schritt 1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.2.7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x + 0)$

Schritt 1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.11.1

Addiere $10 x$ und $0$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x)$

Schritt 1.2.11.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $3 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + 10 \cdot ((3 x^{3} + x) x)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (10 (3 x^{3}) + 10 x) x$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2}) + (5 x^{2} - 1) \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 5 x^{2} (9 x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + (5 x^{2} - 1) \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 5 x^{2} (9 x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$f' (x) = 45 x^{2} x^{2} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.6.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f' (x) = 45 (x^{2} x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 45 x^{2 + 2} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} - 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.6

Addiere $- 9 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.7

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{3} x + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 (x \cdot x^{3}) + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.10

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 (x \cdot x)$

Schritt 1.3.6.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 (x \cdot x)$

Schritt 1.3.6.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

Schritt 1.3.6.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x^{2}$

Schritt 1.3.6.15

Addiere $45 x^{4}$ und $30 x^{4}$ .

$f' (x) = 75 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 10 x^{2}$

Schritt 1.3.6.16

Addiere $- 4 x^{2}$ und $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (75 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [75 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $75$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $75 x^{4}$ nach $x$ gleich $75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 75 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $75$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $300 x^{3} + 12 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $300 x^{3} + 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [300 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (300 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [300 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $300$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $300 x^{3}$ nach $x$ gleich $300 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 300 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f''' (x) = 300 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $300$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $900 x^{2} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [900 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (900 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [900 x^{2}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $900$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $900 x^{2}$ nach $x$ gleich $900 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 900 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 900 (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $900$ .

$f^{4} (x) = 1800 x + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 1800 x + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $1800 x$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 1800 x$