Analysis Beispiele

$f (x) = e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 7 x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 7 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 7 x^{2}$ .

$e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 7 x^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- 7 x^{2}} (- 7 (2 x))$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$e^{- 7 x^{2}} (- 14 x)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Stelle die Faktoren von $e^{- 7 x^{2}} (- 14 x)$ um.

$- 14 e^{- 7 x^{2}} x$

Schritt 1.3.2

Stelle die Faktoren in $- 14 e^{- 7 x^{2}} x$ um.

$f' (x) = - 14 x e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 14 x e^{- 7 x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 14 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x^{2}}]$ .

$- 14 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- 7 x^{2}}$ .

$- 14 (x \frac{d}{d x} [e^{- 7 x^{2}}] + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 7 x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 7 x^{2}$ .

$- 14 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 14 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- 7 x^{2}$ .

$- 14 (x (e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 14 (x (e^{- 7 x^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 14 (x (e^{- 7 x^{2}} (- 7 (2 x))) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$- 14 (x (e^{- 7 x^{2}} (- 14 x)) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 14 (x^{1} x (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 14 (x^{1} x^{1} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 14 (x^{1 + 1} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- 14 (x^{2} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8.2

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von $e^{- 7 x^{2}}$ .

$- 14 (x^{2} (- 14 \cdot e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 14 (x^{2} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $e^{- 7 x^{2}}$ mit $1$ .

$- 14 (x^{2} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}})$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 14 (x^{2} (- 14 e^{- 7 x^{2}})) - 14 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$196 x^{2} e^{- 7 x^{2}} - 14 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 2.11.3

Stelle die Terme um.

$196 e^{- 7 x^{2}} x^{2} - 14 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 2.11.4

Stelle die Faktoren in $196 e^{- 7 x^{2}} x^{2} - 14 e^{- 7 x^{2}}$ um.

$f'' (x) = 196 x^{2} e^{- 7 x^{2}} - 14 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $196 x^{2} e^{- 7 x^{2}} - 14 e^{- 7 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{- 7 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{- 7 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{- 7 x^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $196$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $196 x^{2} e^{- 7 x^{2}}$ nach $x$ gleich $196 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 7 x^{2}}]$ .

$196 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 7 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{- 7 x^{2}}$ .

$196 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 7 x^{2}}] + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 7 x^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- 7 x^{2}$ .

$196 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$196 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 7 x^{2}$ .

$196 (x^{2} (e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$196 (x^{2} (e^{- 7 x^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$196 (x^{2} (e^{- 7 x^{2}} (- 7 (2 x))) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$196 (x^{2} (e^{- 7 x^{2}} (- 7 (2 x))) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$196 (x^{2} (e^{- 7 x^{2}} (- 14 x)) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.8.1

Bewege $x$ .

$196 (x \cdot x^{2} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$196 (x^{1} x^{2} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$196 (x^{1 + 2} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$196 (x^{3} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.2.9

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von $e^{- 7 x^{2}}$ .

$196 (x^{3} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 14 e^{- 7 x^{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 14 e^{- 7 x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 14 \frac{d}{d x} [e^{- 7 x^{2}}]$ .

$196 (x^{3} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) - 14 \frac{d}{d x} [e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 7 x^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 7 x^{2}$ .

$196 (x^{3} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) - 14 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$196 (x^{3} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) - 14 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 7 x^{2}$ .

$196 (x^{3} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) - 14 (e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}])$

Schritt 3.3.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$196 (x^{3} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) - 14 (e^{- 7 x^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$196 (x^{3} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) - 14 (e^{- 7 x^{2}} (- 7 (2 x)))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$196 (x^{3} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) - 14 (e^{- 7 x^{2}} (- 14 x))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$196 (x^{3} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (2 x)) + 196 e^{- 7 x^{2}} x$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$196 (x^{3} (- 14 e^{- 7 x^{2}})) + 196 (e^{- 7 x^{2}} (2 x)) + 196 e^{- 7 x^{2}} x$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $196$ .

$- 2744 (x^{3} (e^{- 7 x^{2}})) + 196 (e^{- 7 x^{2}} (2 x)) + 196 e^{- 7 x^{2}} x$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $196$ .

$- 2744 x^{3} e^{- 7 x^{2}} + 392 (e^{- 7 x^{2}} (x)) + 196 e^{- 7 x^{2}} x$

Schritt 3.4.2.3

Addiere $392 e^{- 7 x^{2}} x$ und $196 e^{- 7 x^{2}} x$ .

$- 2744 x^{3} e^{- 7 x^{2}} + 588 e^{- 7 x^{2}} x$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$- 2744 e^{- 7 x^{2}} x^{3} + 588 e^{- 7 x^{2}} x$

Schritt 3.4.4

Stelle die Faktoren in $- 2744 e^{- 7 x^{2}} x^{3} + 588 e^{- 7 x^{2}} x$ um.

$f''' (x) = - 2744 x^{3} e^{- 7 x^{2}} + 588 x e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2744 x^{3} e^{- 7 x^{2}} + 588 x e^{- 7 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2744 x^{3} e^{- 7 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2744 x^{3} e^{- 7 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2744 x^{3} e^{- 7 x^{2}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- 2744$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2744 x^{3} e^{- 7 x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2744 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- 7 x^{2}}]$ .

$- 2744 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- 7 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = e^{- 7 x^{2}}$ .

$- 2744 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- 7 x^{2}}] + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 7 x^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- 7 x^{2}$ .

$- 2744 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2744 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 7 x^{2}$ .

$- 2744 (x^{3} (e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2744 (x^{3} (e^{- 7 x^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2744 (x^{3} (e^{- 7 x^{2}} (- 7 (2 x))) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2744 (x^{3} (e^{- 7 x^{2}} (- 7 (2 x))) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$- 2744 (x^{3} (e^{- 7 x^{2}} (- 14 x)) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.8

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.8.1

Bewege $x$ .

$- 2744 (x \cdot x^{3} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 4.2.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2744 (x^{1} x^{3} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2744 (x^{1 + 3} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.8.3

Addiere $1$ und $3$ .

$- 2744 (x^{4} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.2.9

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von $e^{- 7 x^{2}}$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [588 x e^{- 7 x^{2}}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $588$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $588 x e^{- 7 x^{2}}$ nach $x$ gleich $588 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x^{2}}]$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x^{2}}]$

Schritt 4.3.2

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x \frac{d}{d x} [e^{- 7 x^{2}}] + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 7 x^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 7 x^{2}$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 7 x^{2}$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{- 7 x^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{- 7 x^{2}} (- 7 (2 x))) + e^{- 7 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{- 7 x^{2}} (- 7 (2 x))) + e^{- 7 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{- 7 x^{2}} (- 14 x)) + e^{- 7 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 4.3.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x^{1} x (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 4.3.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x^{1} x^{1} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 4.3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x^{1 + 1} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 4.3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (e^{- 7 x^{2}} \cdot (- 14)) + e^{- 7 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 4.3.12

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von $e^{- 7 x^{2}}$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (- 14 \cdot e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 4.3.13

Mutltipliziere $e^{- 7 x^{2}}$ mit $1$ .

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}})$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}})) - 2744 (e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (- 14 e^{- 7 x^{2}}) + e^{- 7 x^{2}})$

Schritt 4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2744 (x^{4} (- 14 e^{- 7 x^{2}})) - 2744 (e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (- 14 e^{- 7 x^{2}})) + 588 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 2744$ .

$38416 (x^{4} (e^{- 7 x^{2}})) - 2744 (e^{- 7 x^{2}} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (- 14 e^{- 7 x^{2}})) + 588 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2744$ .

$38416 x^{4} e^{- 7 x^{2}} - 8232 (e^{- 7 x^{2}} (x^{2})) + 588 (x^{2} (- 14 e^{- 7 x^{2}})) + 588 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $588$ .

$38416 x^{4} e^{- 7 x^{2}} - 8232 e^{- 7 x^{2}} x^{2} - 8232 (x^{2} (e^{- 7 x^{2}})) + 588 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 4.4.3.4

Subtrahiere $8232 x^{2} e^{- 7 x^{2}}$ von $- 8232 e^{- 7 x^{2}} x^{2}$ .

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Schritt 4.4.3.4.1

Bewege $e^{- 7 x^{2}}$ .

$38416 x^{4} e^{- 7 x^{2}} - 8232 x^{2} e^{- 7 x^{2}} - 8232 x^{2} e^{- 7 x^{2}} + 588 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 4.4.3.4.2

Subtrahiere $8232 x^{2} e^{- 7 x^{2}}$ von $- 8232 x^{2} e^{- 7 x^{2}}$ .

$38416 x^{4} e^{- 7 x^{2}} - 16464 x^{2} e^{- 7 x^{2}} + 588 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 4.4.4

Stelle die Terme um.

$38416 e^{- 7 x^{2}} x^{4} - 16464 e^{- 7 x^{2}} x^{2} + 588 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 4.4.5

Stelle die Faktoren in $38416 e^{- 7 x^{2}} x^{4} - 16464 e^{- 7 x^{2}} x^{2} + 588 e^{- 7 x^{2}}$ um.

$f^{4} (x) = 38416 x^{4} e^{- 7 x^{2}} - 16464 x^{2} e^{- 7 x^{2}} + 588 e^{- 7 x^{2}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $38416 x^{4} e^{- 7 x^{2}} - 16464 x^{2} e^{- 7 x^{2}} + 588 e^{- 7 x^{2}}$ .

$38416 x^{4} e^{- 7 x^{2}} - 16464 x^{2} e^{- 7 x^{2}} + 588 e^{- 7 x^{2}}$