Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\ln (x)}{10 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\ln (x)}{10 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 1.4.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{10 x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1 - \ln (x)}{10 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 2.5.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ heraus.

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Schritt 2.5.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 2.5.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (1 - \ln (x)) x$ heraus.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Schritt 2.5.4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ heraus.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$ .

$\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{10 x^{3}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{10 x^{3}}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{10 x^{3}}$

Schritt 2.8.2.1.2

Multipliziere $- 2 (- \ln (x))$ .

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Schritt 2.8.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{10 x^{3}}$

Schritt 2.8.2.1.2.2

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{- 3 + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Schritt 2.8.3

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- 1 (3) + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Schritt 2.8.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (x^{2})$ heraus.

$\frac{- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{3}}$

Schritt 2.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ heraus.

$\frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{10 x^{3}}$

Schritt 2.8.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$ .

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$

Schritt 3.2

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - \ln (x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5.2.2.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- x (2 x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x \cdot x - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 (x^{1} x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{1 + 1} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.11.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.11.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.11.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ heraus.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Schritt 3.11.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))$ heraus.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Schritt 3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.12.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $\frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$ mit $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4} \cdot 10}$

Schritt 3.14

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$- \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{10 \cdot x^{4}}$

Schritt 3.15

Vereinfache.

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Schritt 3.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{- 2 - 3 \cdot 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.15.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- \frac{- 2 - 9 - 3 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.2.1.2

Multipliziere $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

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Schritt 3.15.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- \frac{- 2 - 9 + 3 \ln (x^{2})}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.2.1.2.2

Vereinfache $3 \ln (x^{2})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{- 2 - 9 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 3.15.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.2.2

Subtrahiere $9$ von $- 2$ .

$- \frac{- 11 + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.3

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$- \frac{- 1 (11) + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (x^{6})$ heraus.

$- \frac{- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))$ heraus.

$- \frac{- 1 (11 - \ln (x^{6}))}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Schritt 3.15.8

Mutltipliziere $\frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$

Schritt 4.2

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $11 - \ln (x^{6})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.3.3

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x^{6})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{6}$ .

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Schritt 4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.4.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.5.1

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4}}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 4.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} (6 x^{5}) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.5.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 \frac{1}{x^{2}} x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.4.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6}{x^{2}} x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.4.3

Kombiniere $\frac{- 6}{x^{2}}$ und $x^{5}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{5}}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.5.4.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 6 x^{5}$ heraus.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.4.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{3}}{1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.4.4.2.4

Dividiere $- 6 x^{3}$ durch $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 4.5.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.5.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 4.5.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 6 x^{3} + (- 4 \cdot 11 - 4 (- \ln (x^{6}))) x^{3}}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 6 x^{3} - 4 \cdot 11 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.3.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $11$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.3.1.2

Multipliziere $- 4 (- \ln (x^{6}))$ .

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Schritt 4.6.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + 4 \ln (x^{6}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.3.1.2.2

Vereinfache $4 \ln (x^{6})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln ({(x^{6})}^{4}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{4}$ .

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Schritt 4.6.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{6 \cdot 4}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.3.1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.3.2

Subtrahiere $44 x^{3}$ von $- 6 x^{3}$ .

$\frac{- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.3.3

Stelle die Faktoren in $- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}$ um.

$\frac{- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})$ heraus.

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Schritt 4.6.4.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 50 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} \ln (x^{24})}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.4.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} \ln (x^{24})$ heraus.

$\frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.4.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))$ heraus.

$\frac{x^{3} (- 50 + \ln (x^{24}))}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.5

Zerlege $\ln (x^{24})$ durch Herausziehen von $24$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{10 x^{8}}$

Schritt 4.6.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.6.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $10 x^{8}$ heraus.

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (10 x^{5})}$

Schritt 4.6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (10 x^{5})}$

Schritt 4.6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 50 + 24 \ln (x)}{10 x^{5}}$

Schritt 4.6.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50 + 24 \ln (x)$ und $10$ .

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Schritt 4.6.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 50$ heraus.

$\frac{2 (- 25) + 24 \ln (x)}{10 x^{5}}$

Schritt 4.6.7.2

Faktorisiere $2$ aus $24 \ln (x)$ heraus.

$\frac{2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))}{10 x^{5}}$

Schritt 4.6.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))$ heraus.

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{10 x^{5}}$

Schritt 4.6.7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{2 (5 x^{5})}$

Schritt 4.6.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{2 (5 x^{5})}$

Schritt 4.6.7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 25 + 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Schritt 4.6.8

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$\frac{- 1 (25) + 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Schritt 4.6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $12 \ln (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (25) - (- 12 \ln (x))}{5 x^{5}}$

Schritt 4.6.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (25) - (- 12 \ln (x))$ heraus.

$\frac{- 1 (25 - 12 \ln (x))}{5 x^{5}}$

Schritt 4.6.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$ .

$- \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$