Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)$

Schritt 1.3.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x \sin (x))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)$

Schritt 2.4.2

Addiere $\cos (x) (2 x)$ und $2 x \cos (x)$ .

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Schritt 2.4.2.1

Bewege $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $2 x \cos (x)$ und $2 x \cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Schritt 3.2.2

$f''' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x \cos (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x \cos (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Schritt 3.3.2

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 3.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 3.5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 4 (x (\sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 3.5.3.3

Subtrahiere $4 x \sin (x)$ von $- 2 \sin (x) x$ .

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Schritt 3.5.3.3.1

Bewege $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 3.5.3.3.2

Subtrahiere $4 x \sin (x)$ von $- 2 x \sin (x)$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 3.5.3.4

Addiere $4 \cos (x)$ und $2 \cos (x)$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Schritt 4.2.2

$f^{4} (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Schritt 4.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x \sin (x)]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Schritt 4.3.2

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Schritt 4.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Schritt 4.4

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

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Schritt 4.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \cos (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + 6 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 4.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + 6 (- \sin (x))$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) - 6 \sin (x)$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) - 6 \sin (x)$

Schritt 4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Schritt 4.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (x^{2} (\sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Schritt 4.5.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Schritt 4.5.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 2 (\cos (x) (x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Schritt 4.5.3.4

Subtrahiere $6 x \cos (x)$ von $- 2 \cos (x) x$ .

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Schritt 4.5.3.4.1

Bewege $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) - 6 x \cos (x) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Schritt 4.5.3.4.2

Subtrahiere $6 x \cos (x)$ von $- 2 x \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Schritt 4.5.3.5

Subtrahiere $6 \sin (x)$ von $- 6 \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ .

$x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$