Analysis Beispiele

$\arctan (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 2.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.14

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18

Vereinfache.

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Schritt 3.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.18.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2} + 2$ heraus.

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Schritt 3.18.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ heraus.

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 1)$ als $- 1 (3 x^{2} - 1)$ um.

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.10

Mutltipliziere $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$

Schritt 4.2

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x + 0) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.7.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.3.7.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$2 \frac{6 \cdot {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5

Differenziere.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.5.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.5.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) (2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{2} x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$2 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.5.3

Kombiniere $2$ und $\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$ .

$\frac{2 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x + (- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{2 (6 ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (6 (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{4} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1^{3}) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 ((6 x^{6} + 6 (3 x^{4}) + 6 (3 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{2 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 6 (3 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{2 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 18 x^{2} + 6 \cdot 1) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{2 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 18 x^{2} + 6) x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (6 x^{6} x + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.6.1

Multipliziere $x^{6}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.6.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (6 (x \cdot x^{6}) + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (6 (x^{1} x^{6}) + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (6 x^{1 + 6} + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.1.3

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.6.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 (x \cdot x^{4}) + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 4.6.3.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 (x^{1} x^{4}) + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{1 + 4} + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{2} x + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.6.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.6.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 (x^{1} x^{2}) + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{1 + 2} + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.6.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{3} + 6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (6 x^{7}) + 2 (18 x^{5}) + 2 (18 x^{3}) + 2 (6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.8.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 2 (18 x^{5}) + 2 (18 x^{3}) + 2 (6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.8.2

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 2 (18 x^{3}) + 2 (6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.8.3

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 2 (6 x) + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.8.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.9.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.10

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.11

Multipliziere $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.6.3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.6.3.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.3.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.3.12.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.12.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.12.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.12.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.12.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.12.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + 2 x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4} x + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.14

Vereinfache.

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Schritt 4.6.3.14.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.3.14.1.1

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 4.6.3.14.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4} x^{1} + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.14.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4 + 1} + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.14.1.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.14.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.3.14.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 (x \cdot x^{2}) + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.14.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.6.3.14.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 (x^{1} x^{2}) + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.14.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{1 + 2} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.14.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.14.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.15

Multipliziere $(- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{2} x^{5} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.3.16.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.3.16.1.1

Bewege $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 (x^{5} x^{2}) - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{5 + 2} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.1.3

Addiere $5$ und $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 2 x^{2} x^{3} - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.16.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 2 (x^{3} x^{2}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 2 x^{3 + 2} - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.3.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 2 x^{5} - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.4

Mutltipliziere $- 18$ mit $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.3.16.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.6.3.16.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{1 + 2} + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{3} + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.16.6

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{3} + 6 x^{5} + 12 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.17

Addiere $- 36 x^{5}$ und $6 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 30 x^{5} - 18 x^{3} + 12 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.18

Addiere $- 18 x^{3}$ und $12 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7} - 30 x^{5} - 6 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.19

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x + 2 (- 18 x^{7}) + 2 (- 30 x^{5}) + 2 (- 6 x^{3}) + 2 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.20

Vereinfache.

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Schritt 4.6.3.20.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 36 x^{7} + 2 (- 30 x^{5}) + 2 (- 6 x^{3}) + 2 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.20.2

Mutltipliziere $- 30$ mit $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 2 (- 6 x^{3}) + 2 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.20.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 12 x^{3} + 2 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.20.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.21

Subtrahiere $36 x^{7}$ von $12 x^{7}$ .

$\frac{- 24 x^{7} + 36 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 60 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.22

Subtrahiere $60 x^{5}$ von $36 x^{5}$ .

$\frac{- 24 x^{7} - 24 x^{5} + 36 x^{3} + 12 x - 12 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.23

Subtrahiere $12 x^{3}$ von $36 x^{3}$ .

$\frac{- 24 x^{7} - 24 x^{5} + 24 x^{3} + 12 x + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.24

Addiere $12 x$ und $12 x$ .

$\frac{- 24 x^{7} - 24 x^{5} + 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25

Schreibe $- 24 x^{7} - 24 x^{5} + 24 x^{3} + 24 x$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.6.3.25.1

Faktorisiere $24 x$ aus $- 24 x^{7} - 24 x^{5} + 24 x^{3} + 24 x$ heraus.

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Schritt 4.6.3.25.1.1

Faktorisiere $24 x$ aus $- 24 x^{7}$ heraus.

$\frac{24 x (- x^{6}) - 24 x^{5} + 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.1.2

Faktorisiere $24 x$ aus $- 24 x^{5}$ heraus.

$\frac{24 x (- x^{6}) + 24 x (- x^{4}) + 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.1.3

Faktorisiere $24 x$ aus $24 x^{3}$ heraus.

$\frac{24 x (- x^{6}) + 24 x (- x^{4}) + 24 x (x^{2}) + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.1.4

Faktorisiere $24 x$ aus $24 x$ heraus.

$\frac{24 x (- x^{6}) + 24 x (- x^{4}) + 24 x (x^{2}) + 24 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.1.5

Faktorisiere $24 x$ aus $24 x (- x^{6}) + 24 x (- x^{4})$ heraus.

$\frac{24 x (- x^{6} - x^{4}) + 24 x (x^{2}) + 24 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.1.6

Faktorisiere $24 x$ aus $24 x (- x^{6} - x^{4}) + 24 x (x^{2})$ heraus.

$\frac{24 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2}) + 24 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.1.7

Faktorisiere $24 x$ aus $24 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2}) + 24 x (1)$ heraus.

$\frac{24 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.6.3.25.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{24 x ((- x^{6} - x^{4}) + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{24 x (x^{4} (- x^{2} - 1) - 1 (- x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x^{2} - 1$ .

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) (x^{4} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.7

Vereinfache.

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Schritt 4.6.3.25.7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

$\frac{24 x ((- x^{2} - 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.6.3.25.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{24 x ((- (x^{2}) - 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.8.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{24 x ((- (x^{2}) - 1 (1)) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{24 x (- (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.8.4

Schreibe $- (x^{2} + 1)$ als $- 1 (x^{2} + 1)$ um.

$\frac{24 x (- 1 (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.8.5

Potenziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{24 x (- 1 ({(x^{2} + 1)}^{1} (x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.8.6

Potenziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{24 x (- 1 ({(x^{2} + 1)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{1}) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.8.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{24 x (- 1 {(x^{2} + 1)}^{1 + 1} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.8.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{24 x (- 1 {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

$\frac{24 x \cdot - 1 {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.3.25.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$\frac{- 24 x {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{6}$ .

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Schritt 4.6.4.1.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus $- 24 x {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 24 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.4.1.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 24 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.6.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 24 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.6.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 24 x (x + 1)) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$