Analysis Beispiele

$f (x) = {(2 x + 1)}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = 8 {(2 x + 1)}^{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 {(2 x + 1)}^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{3})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 8 (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f'' (x) = 24 ({(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 2.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$f'' (x) = 48 {(2 x + 1)}^{2}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(2 x + 1)}^{2}$ als $(2 x + 1) (2 x + 1)$ um.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 ((2 x + 1) (2 x + 1)))$

Schritt 3.2

Multipliziere $(2 x + 1) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)))$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)))$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1))$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1))$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 4 x + 1))$

Schritt 3.4

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 (4 x^{2} + 4 x + 1)$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$ .

$f''' (x) = 48 \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 4 x + 1)$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 48 (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 48 (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = 48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + 0)$

Schritt 3.13

Addiere $8 x + 4$ und $0$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4)$

Schritt 3.14

Vereinfache.

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Schritt 3.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = 48 (8 x) + 48 \cdot 4$

Schritt 3.14.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.14.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $48$ .

$f''' (x) = 384 x + 48 \cdot 4$

Schritt 3.14.2.2

Mutltipliziere $48$ mit $4$ .

$f''' (x) = 384 x + 192$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $384 x + 192$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [192]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (384 x) + \frac{d}{d x} (192)$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [384 x]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $384$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $384 x$ nach $x$ gleich $384 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 384 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (192)$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (192)$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $384$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 384 + \frac{d}{d x} (192)$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Da $192$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $192$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 384 + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $384$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 384$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $384$ .

$384$