Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 16}{2 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2} + 16}{2 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 16}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 16}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 16$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$

Schritt 1.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{2 x^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 16}{2 x^{2}}$

Schritt 1.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 16}{2 x^{2}}$

Schritt 1.10.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2}}$

Schritt 1.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.10.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1.10.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$f' (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 4$ und $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $x + 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (1 + 0)) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.5.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) \cdot 1) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.8.2

Mutltipliziere $x - 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + x - 4) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 4 - 4) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.5.8.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 4) (x - 4) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{x^{4}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{x^{4}}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 4) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 8) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.2

Multipliziere $(- 2 x - 8) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 4) - 8 (x - 4)) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 8 (x - 4)) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.2.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8 x - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8 x - 8 x + 32) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $8 x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 32) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 32) x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 32 x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 32 x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.10.2.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 32 x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 32 x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{0 + 32 x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.3

Addiere $0$ und $32 x$ .

$\frac{32 x}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.10.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $2$ .

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Schritt 2.10.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $32 x$ heraus.

$\frac{2 (16 x)}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 (16 x)}{2 (x^{4})}$

Schritt 2.10.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (16 x)}{2 x^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 x}{x^{4}}$

Schritt 2.10.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.10.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $16 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 16}{x^{4}}$

Schritt 2.10.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x \cdot 16}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.10.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 16}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.10.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{16}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$16 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $16$ .

$- 48 x^{- 4}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $- 48$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 48}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{48}{x^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{48}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$- 48 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 48 (- 4 x^{- 5})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 48$ .

$192 x^{- 5}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $192$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{192}{x^{5}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{192}{x^{5}}$ .

$\frac{192}{x^{5}}$