Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $2 x^{3}$ durch $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x + 12 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f''' (x) = 12 x + 12$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $12$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 12$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12$ .

$12$