Analysis Beispiele

$f (x) = \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.8

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Schritt 2.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x))$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = - 2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin^{2} (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren von $4 \sin (x) \cos (x)$ um.

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 3.4.2

Addiere $4 \cos (x) \sin (x)$ und $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f''' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 4.2

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 4.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 4.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 4.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = 8 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 4.8

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 4.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Schritt 4.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Schritt 4.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Schritt 4.12

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Schritt 4.13

Vereinfache.

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Schritt 4.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) + 8 (- \sin^{2} (x))$

Schritt 4.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$ .

$8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$