Analysis Beispiele

$\int (2 x + 5) {(x^{2} + 5 x)}^{7} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 5 x$ . Dann ist $d u = (2 x + 5) d x$ , folglich $\frac{1}{2 x + 5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$2 x + 5$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{7} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{7}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{1}{8} {(x^{2} + 5 x)}^{8} + C$