Analysis Beispiele

$\int 15 x \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int 15 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 15 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $15$ aus dem Integral.

$15 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$15 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $15$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{15 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$\frac{30}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $5$ .

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Schritt 8.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $30$ heraus.

$\frac{5 \cdot 6}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot 6}{5 (1)} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$