Analysis Beispiele

$\int x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 \int x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{- 2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - x^{- 1} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - x^{- 1} + C$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} - x^{- 1} + C$