Analysis Beispiele

$\int \frac{t^{3}}{3} + \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{t^{3}}{3} d t + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Schritt 2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int t^{3} d t + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{t^{2}} d t$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $t^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int t^{2 \cdot - 1} d t$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int t^{- 2} d t$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 2}$ nach $t$ gleich $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} (- t^{- 1} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{12} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $t^{- 1}$ .

$\frac{1}{12} t^{4} - \frac{t^{- 1}}{4} + C$

Schritt 7.2.4

Bringe $t^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{12} t^{4} - \frac{1}{4 t} + C$