Analysis Beispiele

$\int \frac{2}{x - 4} - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = x - 4$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = x - 4$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.1.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Schritt 8

Sei $u_{2} = 2 x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 8.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 8.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 8.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$2 \ln (| u_{1} |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x + 1$ .

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$