Analysis Beispiele

$\int \sqrt{r} - \frac{1}{r^{3}} d r$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt{r} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{r}$ als $r^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int r^{\frac{1}{2}} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $r^{\frac{1}{2}}$ nach $r$ gleich $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{1}{r^{3}} d r$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $r^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int {(r^{3})}^{- 1} d r$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{3 \cdot - 1} d r$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{- 3} d r$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $r^{- 3}$ nach $r$ gleich $- \frac{1}{2} r^{- 2}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2} r^{- 2} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $r^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{r^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 7.1.2

Bringe $r^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2 r^{2}} + C)$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} - - \frac{1}{2 r^{2}} + C$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 r^{2}} + C$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 r^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 r^{2}} + C$