Analysis Beispiele

$\int (t^{2} + t) \cos (3 t) d t$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int t^{2} \cos (3 t) + t \cos (3 t) d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int t^{2} \cos (3 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t^{2}$ und $d v = \cos (3 t)$ .

$t^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (3 t)$ .

$t^{2} \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 4.2

Kombiniere $t^{2}$ und $\frac{\sin (3 t)}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{3} \cdot 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int \sin (3 t) (t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} \int \sin (3 t) (t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = \sin (3 t)$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{1}{3} \cos (3 t)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kombiniere $\cos (3 t)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{\cos (3 t)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 8.2

Kombiniere $t$ und $\frac{\cos (3 t)}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 8.3

Kombiniere $\cos (3 t)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - - \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + 1 \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\int \frac{\cos (3 t)}{3} d t$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 11

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 12

Sei $u_{1} = 3 t$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Es sei $u_{1} = 3 t$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Differenziere $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 12.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 13

Kombiniere $\cos (u_{1})$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 14

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 16

Das Integral von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sin (u_{1})$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \int t \cos (3 t) d t$

Schritt 17

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = \cos (3 t)$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

Schritt 18

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (3 t)$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

Schritt 18.2

Kombiniere $t$ und $\frac{\sin (3 t)}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

Schritt 19

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t)$

Schritt 20

Sei $u_{2} = 3 t$ . Dann ist $d u_{2} = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Es sei $u_{2} = 3 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1.1

Differenziere $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 20.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 20.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 20.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 20.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 21

Kombiniere $\sin (u_{2})$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Schritt 22

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 23

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 23.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 24

Das Integral von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2}) + C)$

Schritt 25

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 25.1

Vereinfache.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2})) + C$

Schritt 25.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 25.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + 1 (\frac{1}{9}) \cos (u_{2}) + C$

Schritt 25.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \cos (u_{2}) + C$

Schritt 25.2.3

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $\cos (u_{2})$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

Schritt 26

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 t$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

Schritt 26.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 t$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (3 t)}{9} + C$

Schritt 27

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} t^{2} \sin (3 t) + \frac{2}{9} t \cos (3 t) - \frac{2}{27} \sin (3 t) + \frac{1}{3} t \sin (3 t) + \frac{1}{9} \cos (3 t) + C$