Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4 x} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 4 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ heraus.

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x (x^{2} + 4)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere $2 x^{2} - x + 4$ durch $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6.1.2

Dividiere $A (x^{2} + 4)$ durch $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.1.6.4.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

Schritt 1.1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

Schritt 1.1.6.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.6.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 1.1.6.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.1.7

Bewege $4 A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A + B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 1 = C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$4 = 4 A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = - 1$ um.

$C = - 1$

$2 = A + B$

$4 = 4 A$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 A = 4$ um.

$4 A = 4$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 4$ durch $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.3.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $2 = A + B$ durch $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = - 1$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

Schritt 1.3.4

Löse in $2 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 2$ um.

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = - 1$

Schritt 1.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = - 1$

Schritt 1.3.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

Schritt 1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = 1 A = 1 C = - 1$

Schritt 1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = 1, A = 1, C = - 1$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{x} + \frac{1 x - 1}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x - 1}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 4

Zerlege den Bruch $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ in zwei Brüche.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{- 1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 7

Sei $u = x^{2} + 4$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = x^{2} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 7.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{2 u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Stelle $x^{2}$ und $4$ um.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 12.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 13

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Schritt 14.2

Vereinfache.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$