Analysis Beispiele

$\int {(x^{2} - 3)}^{5} (2 x) d x$

Schritt 1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - 3)}^{5}$ .

$\int 2 {(x^{2} - 3)}^{5} x d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int {(x^{2} - 3)}^{5} x d x$

Schritt 3

Sei $u = x^{2} - 3$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Schritt 4

Kombiniere $u^{5}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int u^{5} d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int u^{5} d u$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int u^{5} d u$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int u^{5} d u$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\int u^{5} d u$ mit $1$ .

$\int u^{5} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{6} {(x^{2} - 3)}^{6} + C$