Analysis Beispiele

$\int \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{6} (x)} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $\sin^{4} (x)$ aus $\sin^{6} (x)$ heraus.

$\int \frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x) \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 1.3

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Schritt 1.4

Wandle von $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{4} (x)}$ nach $\cot^{4} (x)$ um.

$\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot^{4} (x) d x$

Schritt 1.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cot^{4} (x) d x$

Schritt 1.6

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ um.

$\int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cot^{4} (x) d x$

Schritt 1.7

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\int \csc^{2} (x) \cot^{4} (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \cot (x)$ . Dann ist $d u = - \csc^{2} (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = \cot (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 1 u^{4} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{4} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 5

Schreibe $- (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ als $- \frac{1}{5} u^{5} + C$ um.

$- \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\cot (x)$ .

$- \frac{1}{5} \cot^{5} (x) + C$