Analysis Beispiele

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} d x$

Schritt 1

Sei $u = e^{x} + 1$ . Dann ist $d u = e^{x} d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = e^{x} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$e^{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + 1$ .

$2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$