Analysis Beispiele

$\int \frac{e^{u}}{{(2 - e^{u})}^{2}} d u$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 - e^{u}$ . Dann ist $d u_{1} = - e^{u} d u$ , folglich $- \frac{1}{e^{u}} d u_{1} = d u$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 - e^{u}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 - e^{u}$ .

$\frac{d}{d u} [2 - e^{u}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - e^{u}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [2] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

$\frac{d}{d u} [2] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- e^{u}$ nach $u$ gleich $- \frac{d}{d u} [e^{u}]$ .

$0 - \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 - e^{u}$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $e^{u}$ von $0$ .

$- e^{u}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ als $- - \frac{1}{u_{1}} + C$ um.

$- - \frac{1}{u_{1}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 - e^{u}$ .

$\frac{1}{2 - e^{u}} + C$