Analysis Beispiele

$\int {(5 - 3 x)}^{- 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 - 3 x$ . Dann ist $d u = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 3$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{- 1} \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int u^{- 1} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $u^{- 1}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{- 1}}{3} d u$

Schritt 2.3

Bringe $u^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $5 - 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 5 - 3 x |) + C$