Analysis Beispiele

$\int {(4 x - 3)}^{4} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x - 3$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{4} \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int u^{4} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 5} u^{5} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 3$ .

$\frac{1}{20} {(4 x - 3)}^{5} + C$