Analysis Beispiele

$\int {(\csc (x) - \tan (x))}^{2} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\csc (x) - \tan (x))}^{2}$ als $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ um.

$\int (\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \csc (x) (\csc (x) - \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $\csc (x) \csc (x)$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.1.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Stelle $\csc (x)$ und $- \tan (x)$ um.

$\int \csc^{2} (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.2.2

Füge Klammern hinzu.

$\int \csc^{2} (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.2.3

Schreibe $\csc (x) (- \tan (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \csc^{2} (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\int \csc^{2} (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.4.1

Füge Klammern hinzu.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.4.2

Schreibe $- \tan (x) \csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 1.3.1.6

Multipliziere $- \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Schritt 1.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + 1 \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3.1.6.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3.1.6.3

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3.1.6.4

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Schritt 1.3.1.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 1.3.1.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $\sec (x)$ von $- \sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - 2 \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \csc^{2} (x) d x + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Schritt 3

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) + C + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Schritt 4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- \cot (x) + C - 2 \int \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

Schritt 6

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 9

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \tan (x) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$- \cot (x) - 2 \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) - x + \tan (x) + C$