Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima sin(x)+cos(x)
Schritt 1
Schreibe als Funktion.
Schritt 2
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
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Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 2.3
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 3.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3.3
Berechne .
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Schritt 3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 4
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 5
Teile jeden Term in der Gleichung durch .
Schritt 6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7
Separiere Brüche.
Schritt 8
Wandle von nach um.
Schritt 9
Dividiere durch .
Schritt 10
Separiere Brüche.
Schritt 11
Wandle von nach um.
Schritt 12
Dividiere durch .
Schritt 13
Mutltipliziere mit .
Schritt 14
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 15
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 15.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 15.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 15.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 15.2.2
Dividiere durch .
Schritt 15.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 15.3.1
Dividiere durch .
Schritt 16
Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Tangens herauszuziehen.
Schritt 17
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 17.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 18
Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.
Schritt 19
Vereinfache .
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Schritt 19.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 19.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 19.2.1
Kombiniere und .
Schritt 19.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 19.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 19.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 19.3.2
Addiere und .
Schritt 20
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 21
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 22
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 22.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 22.1.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 22.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 22.2
Vereinfache Terme.
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Schritt 22.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 22.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 22.2.3
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 22.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 22.2.3.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 22.2.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 22.2.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 22.2.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 22.2.3.2.4
Dividiere durch .
Schritt 23
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 24
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 24.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 24.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 24.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 24.2.1.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 24.2.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 24.2.2
Vereinfache Terme.
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Schritt 24.2.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 24.2.2.2
Addiere und .
Schritt 24.2.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 24.2.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 24.2.2.3.2
Dividiere durch .
Schritt 24.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 25
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 26
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 26.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 26.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.
Schritt 26.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 26.1.3
Multipliziere .
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Schritt 26.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.1.4
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.
Schritt 26.1.5
Der genau Wert von ist .
Schritt 26.1.6
Multipliziere .
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Schritt 26.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.1.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.2
Vereinfache Terme.
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Schritt 26.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 26.2.2
Addiere und .
Schritt 26.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 26.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 26.2.3.2
Dividiere durch .
Schritt 27
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 28
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 28.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 28.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 28.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 28.2.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.
Schritt 28.2.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 28.2.1.3
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.
Schritt 28.2.1.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 28.2.2
Vereinfache Terme.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 28.2.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 28.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 28.2.2.3
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 28.2.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 28.2.2.3.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 28.2.2.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 28.2.2.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 28.2.2.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 28.2.2.3.2.4
Dividiere durch .
Schritt 28.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 29
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 30