Analysis Beispiele

Berechne unter Anwendung der Regel von de l’Hospital Grenzwert von (sin(x))/(x+tan(x)), wenn x gegen 0 geht
Schritt 1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 1.2.1
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.3.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.3.2
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.
Schritt 1.3.3
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 1.3.3.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.3.3.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.3.4
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 1.3.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.3.4.2
Addiere und .
Schritt 1.3.4.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.3.5
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 3.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.5
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 4
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 6
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 7
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 8
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 9
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.
Schritt 10
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 10.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 10.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 11
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 11.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 11.2
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 11.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 11.2.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 11.2.3
Addiere und .