Analysis Beispiele

Berechne unter Anwendung der Regel von de l’Hospital Grenzwert von (sin(7x))/(tan(3x)), wenn x gegen 0 geht
Schritt 1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 1.2.1
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 1.2.1.1
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 1.2.1.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.2.3
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.3.1
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 1.3.1.1
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.
Schritt 1.3.1.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 1.3.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.3.3
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 1.3.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.3.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.3.3.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.3.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 3.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.6
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 3.8.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 3.8.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3.8.3
Ersetze alle durch .
Schritt 3.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.10
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.12
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 4
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 6
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 7
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 8
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 9
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.
Schritt 10
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 11
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 11.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 11.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 12
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 12.1
Kombinieren.
Schritt 12.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 12.3
Separiere Brüche.
Schritt 12.4
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 12.5
Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch zu dividieren.
Schritt 12.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.9
Separiere Brüche.
Schritt 12.10
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 12.11
Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch zu dividieren.
Schritt 12.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.13
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 12.13.1
Bewege .
Schritt 12.13.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.14
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 12.14.1
Bewege .
Schritt 12.14.2
Mutltipliziere mit .
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Schritt 12.14.2.1
Potenziere mit .
Schritt 12.14.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 12.14.3
Addiere und .
Schritt 12.15
Der genau Wert von ist .
Schritt 12.16
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 12.17
Mutltipliziere mit .