Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 1.3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Schritt 4.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$ als ${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$

Schritt 6.3

Schreibe $\sec (0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}})}^{2}$

Schritt 6.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (0)}$ zu dividieren.

${(1 \cos (0))}^{2}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (0)$

Schritt 6.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1^{2}$

Schritt 6.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1$