Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.6.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (x)}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 8

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (0)}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + e^{0}}{\cos (0)}$

Schritt 11.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + 1}{\cos (0)}$

Schritt 11.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{\cos (0)}$

Schritt 11.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{2}{1}$

Schritt 11.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$