Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 1} x)}^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\ln (1^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + 0}$

Schritt 3.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 5

Vereinige Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x (2 x)}$

Schritt 5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x)}$

Schritt 5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x^{1})}$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{1 + 1}}$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 6.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{1^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1}$

Schritt 8.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$