Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} \cdot 1$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 7.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$