Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{8} k (6 k + 7)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k (6 k) + k \cdot 7$

Schritt 1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 k \cdot k + k \cdot 7$

Schritt 1.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $k$ .

$6 k \cdot k + 7 \cdot k$

Schritt 1.4

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Bewege $k$ .

$6 (k \cdot k) + 7 \cdot k$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$6 k^{2} + 7 \cdot k$

$6 k^{2} + 7 k$

Schritt 1.5

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k = 6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 7 \sum_{k = 1}^{8} k$

Schritt 3

Berechne $6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(6) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $8$ und $1$ .

$6 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$6 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$6 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $16$ und $1$ .

$6 \frac{72 \cdot 17}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $72$ mit $17$ .

$6 (\frac{1224}{6})$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{1224}{6})$

Schritt 3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1224$

Schritt 4

Berechne $7 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(7) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Addiere $8$ und $1$ .

$7 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$7 (\frac{72}{2})$

Schritt 4.3.3

Dividiere $72$ durch $2$ .

$7 \cdot 36$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $7$ mit $36$ .

$252$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$1224 + 252$

Schritt 6

Addiere $1224$ und $252$ .

$1476$