Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{1}{7})}^{k}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

${(- \frac{1}{7})}^{1} + {(- \frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{7} + {(- \frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{7}$ an.

$- \frac{1}{7} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{7}$ an.

$- \frac{1}{7} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{7} + 1 \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{7^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.6

Potenziere $7$ mit $2$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{7}$ an.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{7}$ an.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.10

Potenziere $7$ mit $3$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.11

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.11.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{7}$ an.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- 1)}^{4} {(\frac{1}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.11.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{7}$ an.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Schritt 2.1.12

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + 1 \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $\frac{1^{4}}{7^{4}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Schritt 2.1.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{7^{4}}$

Schritt 2.1.15

Potenziere $7$ mit $4$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{343}{343}$ .

$- (\frac{1}{7} \cdot \frac{343}{343}) + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{343}{343}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{49}$ mit $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{1}{49} \cdot \frac{49}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{49}$ mit $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{343}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - (\frac{1}{343} \cdot \frac{7}{7}) + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{343}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $7$ mit $343$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $49$ mit $49$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.2.9

Stelle die Faktoren von $343 \cdot 7$ um.

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{7 \cdot 343} + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $7$ mit $343$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{2401} + \frac{1}{2401}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 343 + 49 - 7 + 1}{2401}$

Schritt 2.4

Addiere $- 343$ und $49$ .

$\frac{- 294 - 7 + 1}{2401}$

Schritt 2.5

Subtrahiere $7$ von $- 294$ .

$\frac{- 301 + 1}{2401}$

Schritt 2.6

Addiere $- 301$ und $1$ .

$\frac{- 300}{2401}$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{300}{2401}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{300}{2401}$

Dezimalform:

$- 0.12494793 \dots$