Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

Schritt 1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $k$ .

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

Schritt 1.4

Multipliziere $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

Schritt 1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Schritt 1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Multipliziere $k^{2}$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.1.1

Mutltipliziere $k^{2}$ mit $k$ .

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Schritt 1.5.1.1.1.1

Potenziere $k$ mit $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Schritt 1.5.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Schritt 1.5.1.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Schritt 1.5.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $k^{2}$ .

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Schritt 1.5.1.3

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.3.1

Bewege $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

Schritt 1.5.1.3.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $2 k^{2}$ von $2 k^{2}$ .

$k^{3} + 0 - 4 k$

Schritt 1.5.3

Addiere $k^{3}$ und $0$ .

$k^{3} - 4 k$

Schritt 1.6

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $3$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $30$ und $1$ .

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $30$ mit $2$ .

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Potenziere $31$ mit $2$ .

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $900$ mit $961$ .

$\frac{864900}{4}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $864900$ durch $4$ .

$216225$

Schritt 4

Berechne $4 \sum_{k = 1}^{30} k$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $30$ und $1$ .

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $30$ mit $31$ .

$- 4 (\frac{930}{2})$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cdot 930$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $930$ .

$- 1860$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$216225 - 1860$

Schritt 6

Subtrahiere $1860$ von $216225$ .

$214365$