Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{6} 2 {(5)}^{n}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{2 \cdot 5^{n + 1}}{2 \cdot 5^{n}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2 \cdot 5^{n + 1}}{2 \cdot 5^{n}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{5^{n + 1}}{5^{n}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5^{n + 1}$ und $5^{n}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $5^{n}$ aus $5^{n + 1}$ heraus.

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{5}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$r = 5$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $1$ für $n$ in $2 {(5)}^{n}$ ein.

$a = 2 \cdot 5^{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Berechne den Exponenten.

$a = 2 \cdot 5$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$a = 10$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$10 \frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Potenziere $5$ mit $6$ .

$10 \frac{1 - 1 \cdot 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $15625$ .

$10 \frac{1 - 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $15625$ von $1$ .

$10 \frac{- 15624}{1 - 1 \cdot 5}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$10 \frac{- 15624}{1 - 5}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$10 (\frac{- 15624}{- 4})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$2 (5) \frac{- 15624}{- 4}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$2 \cdot 5 \frac{- 15624}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 5 \frac{- 15624}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.3.4

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{- 15624}{- 2})$

Schritt 5.4

Kombiniere $5$ und $\frac{- 15624}{- 2}$ .

$\frac{5 \cdot - 15624}{- 2}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 15624$ .

$\frac{- 78120}{- 2}$

Schritt 5.6

Dividiere $- 78120$ durch $- 2$ .

$39060$