Analysis Beispiele

$\sum_{k = 0}^{10} 4 {(\frac{1}{2})}^{k}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ und ${(\frac{1}{2})}^{k}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{1}{2})}^{k}$ aus ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere $\frac{1}{2}$ durch $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $k$ in $4 {(\frac{1}{2})}^{k}$ ein.

$a = 4 {(\frac{1}{2})}^{0}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$a = 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Schritt 3.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 4 \frac{1}{2^{0}}$

Schritt 3.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a = 4 \cdot 1$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$a = 4$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}})$

Schritt 5.1.2

Kombinieren.

$4 \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 \frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 \frac{2 + 2 (- \frac{1^{11}}{2^{11}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1^{11}}{2^{11}}$ in den Zähler.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2^{11}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2^{11}$ heraus.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{2 + \frac{- 1^{11}}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.5

Potenziere $2$ mit $10$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{2 - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.8

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{2 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.9

Kombiniere $2$ und $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $1024$ .

$4 \frac{\frac{2048 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.11.2

Subtrahiere $1$ von $2048$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 - 1}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{1}$

Schritt 5.6

Dividiere $\frac{2047}{1024}$ durch $1$ .

$4 (\frac{2047}{1024})$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $4$ aus $1024$ heraus.

$4 \frac{2047}{4 (256)}$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{2047}{4 \cdot 256}$

Schritt 5.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2047}{256}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2047}{256}$

Dezimalform:

$7.99609375$

Darstellung als gemischte Zahl:

$7 \frac{255}{256}$