Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{n}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ und ${(\frac{1}{3})}^{n}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{1}{3})}^{n}$ aus ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $\frac{1}{3}$ durch $1$ .

$r = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $n$ in ${(\frac{1}{3})}^{n}$ ein.

$a = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

$a = \frac{1}{3}$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

Schritt 5.1.2

Kombinieren.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ in den Zähler.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3^{8}$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.5

Potenziere $3$ mit $7$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.8

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $2187$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.4.11.2

Subtrahiere $1$ von $6561$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Schritt 5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{3} (\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6560$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$

Schritt 5.8

Multipliziere $\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$ .

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Schritt 5.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3280}{2187}$ .

$\frac{3280}{3 \cdot 2187}$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2187$ .

$\frac{3280}{6561}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3280}{6561}$

Dezimalform:

$0.49992379 \dots$